Теперь обратимся к рассмотрению специфического риска инвестиций в конкретные бумаги, а именно, к несистематическому риску, то есть риску, который никак не связан с общими рыночными условиями. Несистематический риск заключается в том, что будущая доходность может быть отличной от доходности вложений за предыдущий период. Наличие такого риска означает, что при инвестировании денег в какой-либо финансовый актив или инструмент, инвестор может получить совершенно отличный от ожидаемого результат. В качестве меры несистематического риска выступает такой показатель как волатильность, которым характеризуется разброс значений доходности относительно средней ее величины на некотором интервале. Можно оценить вероятность реализации той или иной доходности в любом заданном интервале ее значений, даже если отклонения доходности носят случайный характер. В подавляющем большинстве случаев в этих целях используется Гауссово (или нормальное) распределение вероятностей. 

Предположим, что большую часть времени на рынке господствует хаос, а текущая цена определяется большим числом индивидуальных мнений участников рынка. Тогда волатильность в первом приближении принимает значение стандартного отклонения доходности r от его прогнозируемого среднего значения.
Плотность вероятности реализации того или иного значения r в этом случае описывается формулой Гаусса:

ρ(r) = 1/(σ√(2π))exp{-(r-)2/2σ2}

В этом выражении коэффициент перед экспонентой выбран таким образом, что интеграл от этой функции равен единице по всей области значений r от –∞ до +∞.

В математическом выражении, которым описывается плотность распределения случайной величины r, имеется всего два параметра: это среднее значение и величина сигма σ, которая определяет разброс случайных значений r от среднего значения этой величины. Математическая статистика называет последнюю величину относительным стандартным отклонением. Чем большее значение принимает эта величина, тем с большей вероятностью величина r обнаружится дальше от среднего своего значения.

Плотность вероятности разброса значений доходности вложений в бумаги РАО ЕЭС через 20 торговых дней, квартал, полгода и год. В этом случае расчет волатильности был произведен на основе дисперсии однодневных колебаний цены, имевших место в первом квартале 2001 года при средней ожидаемой доходности 0.3 (30 процентов). Будущие значения стандартного отклонения пропорциональны корню квадратному из количества торговых дней. Толстая линия на рисунке соответствует распределению вероятности через квартал и значению σ = 0.31

Величина стандартного отклонения, как это принято, ассоциируется с волатильностью ценной бумаги, которая, в соответствии с традицией, обозначается этой же буквой σ. 

Интеграл на участке от -nσ до +nσ, который является симметричным относительно средней величины, не зависит от величины σ. Для первых трех значений n он равен 0.683, 0.954, 0.997 соответственно. Таким образом, вероятность уклонения доходности от среднего ее значения на величину менее стандартного отклонения равна 0.683 (68.3%). Что же касается вероятности уклонения будущей доходности от среднего ее значения на величину менее двух стандартных отклонений, то она равна 95.4%. Рекомендуется запомнить эти числа.

Опираясь на приведенные формулы, можно довольно легко оценить возможные отклонения доходности инвестиций через год от ожидаемого среднего значения r. Например, пусть средняя годовая доходность и волатильность какой-либо ценной бумаги равны соответственно 30% и 20%. Тогда по прошествии года с вероятностью 68.3% можно ожидать получение доходности Y в интервале от 10% до 50% (-σ<R< />+σ). Разброс доходности R с вероятностью 95.4% придется на интервал (-2σ, +2σ) = (-10%, 70%) и ожидаемая доходность R будет лежать в интервале (-3σ, +3σ) = (-30%, 90%) с вероятностью 99.7%. 
Таким образом, можно сказать, что существует небольшая (0.03%) вероятность того, что вместо планируемой инвестором прибыли в 30%, через год он получит убыток, размер которого будет больше 30% от вложенных средств. 

Величина средней доходности определяется достаточно легко. Она вычисляется как среднее значение величин натуральных логарифмов отношений цен закрытий за N дней:

=∑ri/N, где ri=In{pi/pi-1}

Доходность за один день, или так называемая «дневная» доходность, определяется величинами ri, выраженными логарифмом отношения цен двух закрытий. Значение доходности в процентах годовых (или годовой доходности, Yieldness, P.A.), которое соответствует значению текущей дневной доходности ri, может быть найдено с помощью следующего математического выражения:

Yi={(1+ ri)250-1}*100%

Путать эти две доходности нельзя, несмотря на то, что они связаны между собой. 
Для расчета волатильности стандартной принято считать трехмесячную выборку однодневных изменений цен. Приведем наиболее простой алгоритм оценки σ. После того, как произведен расчет среднего значения доходностей, необходимо вычислить отклонения от среднего x i= ri-, а также дисперсию случайной величины r: 

Dr=∑xi2/(N-1)

Величина стандартного отклонения доходности от среднего ее значения на заданном интервале вычисляется как корень квадратный из дисперсии. Например, в случае с акциями РАО ЕЭС типичное значение однодневных колебаний r составляет 0.04 или 4%. Волатильность σ годовой доходности определяется как значение корня квадратного из произведения дисперсии на количество торговых дней в году T, которое равно 250:

σ=√(T*Dr)

Само собой разумеется, что ответ получится тем надежнее, чем больше число наблюдений N имеется. Но не следует забывать о следующем моменте: колебания цен закрытия, которые относятся к далекому прошлому, могут оказаться слабо связанными с волатильностью на сегодняшний день. В целях повышения значимости последних величин по сравнению с более ранними, применяются методы так называемого «взвешивания», которые дают значения только прошлой, или исторической волатильности (historical volatility). Более полезным представляется знание значений будущей волатильности (implied volatility), которые могут настолько же сильно отличаться от текущего ее значения, как и цены сегодняшнего дня отличаются от цен прошлогодних. 
Для того, чтобы нагляднее представить себе сказанное, достаточно обратить свое внимание на представленный ниже расчет плотности распределения цен для обыкновенных акций РАО ЕЭС, где для анализа использовалась выборка значений цен закрытия за полтора года. Используемая для построения графиков волатильность рассчитывалась на базе цен первого квартала 2001 года. Результаты по доходности представлены на рисунке, который также дает распределение плотности вероятности доходностей инвестиций в бумаги РАО ЕЭС сроком на месяц, квартал, полгода и год (размерность доходности в данном случае выражается в процентах годовых). На иллюстрации можно легко заметить, что дисперсия увеличивается по мере увеличения временного горизонта инвестиций, а кривые при этом как бы «расплываются». Вероятности получения больших положительных и больших отрицательных доходностей, на больших сроках постепенно уравниваются. Вероятность того, что инвестор получит более 100% годовых, приблизительно равна вероятности того, что инвестор получит отрицательную доходность ниже 50% (другими словами – потеряет средства). На второй иллюстрации показаны те же самые вероятности, но здесь они выражены в будущих ценах акций:

P=P(0)*(1+Y*T/100/250)

В этой формуле P(0) представляет собой текущее значение цены, равное на момент расчета 2.80 рублей за бумагу, а T – предполагаемый срок инвестиций, который выражен в числе рабочих дней. 250 – это, соответственно, число рабочих дней в году.

Плотность вероятности разброса цен бумаг РАО ЕЭС через 20 торговых дней, квартал, полгода и год. На этой иллюстрации кривые соответствуют распределениям вероятности доходности, которые приводятся на предыдущем рисунке. Среднее значение ожидаемой цены акции равно 3.62, при этом оно соответствует доходности 30 процентов. Расчет будущей волатильности производился на основе дисперсии однодневных колебаний цены в первом квартале 2001. Цена актива составляет 2.8 рублей за бумагу.

При первом поверхностном взгляде оценка плотности вероятности будущей доходности кажется вполне разумной. Но более внимательное рассмотрение вскрывает то обстоятельство, что соответствующий разброс цен через год лежит в слишком уж широких пределах. Ожидаемые цены через год от 1.5 до 7.5 рублей за бумагу, почти равновероятны. Этим ценам на графике соответствует самая пологая кривая. Толстая кривая показывает прогноз на квартал, который сильно ограничивает наиболее вероятный разброс котировок. Но что объединяет оба этих случая, так это то, что цены часто, так сказать «непостижимым» образом, вырываются из коридора доходности (r-σ, r+σ). Этот момент объясняется следующим образом: реальная доходность за будущий период может существенно отличаться как от сегодняшней, так и от соответственно прогнозируемой средней величины. 

SMA(N)*exp(m*T-σ(T)) < P < SMA(N)*exp(m*T+σ(T))

Здесь T = 62, а SMA(N) представляет собой среднее значение цен закрытия по выборке 

[1,2,…,N], σ(T)=√(Dr*T)

Этот коридор прогнозируемых разбросов цены и реальные котировки изображены на представленном ниже рисунке.